极射赤平投影的概念

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极射赤平投影是表示物体的几何要素或点、直线 、平面的空间方向和它们之间的角距关系的一种平面投影 。它以一个球体作为投影工具(称投影球)，以球体的中心(简称球心)作为比较物体的几何要素(点
、线、面)的方向和角距的原点 ，并以通过球心的一个水平面作为投影平面
。通过球心并垂直于投影平面的直线与投影球面的交点
，称为球极。按照人们描述地球的习惯用语，就称投影平面为赤道平面;与投影平面相对应的两个球极 ，位于上部者称为北极
，位于下部者称为南极(图4－1) 。

图4－1 投影球和投影平面

作极射赤平投影图时，将物体的几何要素置于球心
。由球心发射射线将所有的点 、直线
、平面自球心开始投影于球面上 ，就得到了点、直线 、平面的球面投影。由于球面上点
、直线、平面的方向和它们之间的角距既不容易观测
，又不容易表示 。于是，再以投影球的南极或北极为发射点 ，将点 、直线
、平面的球面投影(点和线)再投影于赤道平面上
。这种投影就称为极射赤平投影，由此得到的点、直线 、平面在赤道平面上的投影图就称为极射赤平投影图。

图4－2a表示极射赤平投影原理的立体示意图 。图上外圆代表投影球面
，O点为球心
。平面NESW为赤道平面，它与球面的交线为一个圆NESW ，这个圆称为赤道大圆。平面NASB为一通过投影球心O的倾斜平面
，它的走向为SN，倾向E ，倾角为α 。这个平面与赤道平面的交线SN就是它的走向线。由于这个平面通过投影球心
，因此，它与投影球面的交线 ，即它的球面投影为一直径等于投影球直径的圆NASB
。半圆弧NAS是它在上半球的球面投影
，半圆弧SBN是它在下半球的球面投影。由投影球的南极向该平面的球面投影发射射线，这些射线与赤道平面有一系列交点(如图4－2a ，由南极向A点发射的射线与赤道平面的交点为C点
，向B点发射的射线与赤道平面的交点为D点)，这些交点的连线就构成了该平面的极射赤平投影NCSD 。可以证明 ，它是一个圆，CD为其直径
，平分CD的点即为其作图圆心
。由图4－2a可见，圆弧NCS为该平面的上半球球面投影(半圆弧NAS)的极射赤平投影 ，它位于赤道大圆之内。圆弧SDN为该平面的下半球球面投影(半圆弧SBN)的极射赤平投影
，它位于赤道大圆之外 。图4－2b为该平面的极射赤平投影图
。

图4－2b所表示的是平面NASB的全球面极射赤平投影。在实际应用中，大多数只作半球面投影 。并且根据表示目的的不同和习惯 ，或作上半球的投影
，射线由下半球球极(南极)发出;或作下半球的投影，射线由上半球球极(北极)发出
。作半球投影的好处在于被投影的点和线都在与发射点相对的半球面上 ，它们的极射赤平投影都在赤道大圆内
，既便于作图，又方便比较和判读。比较常用的是作上半球的投影 ，本书全部采用这种表示法 。如图4－2b中
，赤道大圆内的实线圆弧NCS即表示平面NASB在上半球上的极射赤平投影
。

图4－2 通过球心的平面的投影原理

在极射赤平投影图上，外圆为赤道大圆 ，代表赤道平面(即水平面)，其上、下
、左、右分别代表北 、南
、东、西方位
，并按360°方位角分度。圆弧NCS为上述平面的极射赤平投影 。N 、S两点的连线即代表该平面的走向线，它的方位就由N点(或S点)在赤道大圆上的方位分度读出。圆弧NCS凹部所指的方向代表该平面的倾向方向 ，其中C点与圆心O的连线即为该平面的倾向线
。延长CO与赤道大圆交于E点
，E点在赤道大圆上的方位，即为该平面的倾向方位。连S
、C两点并延长与赤道大圆交于F点 。延长OC与赤道大圆交于W点
。F、W两点间所包括的方位度数即为该平面的倾角α。

图4－2说明 ，经过投影球心的倾斜平面的全球面极射赤平投影
，为一直径大于赤道大圆直径的大圆，它的半球面极射赤平投影为该大圆经过赤道大圆直径两端 、位于赤道大圆内的那一段圆弧 。因此 ，若已知平面的空间方向
，就可以用圆规和直尺，根据投影原理求出作图圆心后 ，将其极射赤平投影图绘出
。

正六百胞体是一种拓扑空间中的凸正多胞体
，由600个正二十面体胞，1200个正三角形面 ，720条棱，120个顶点组成
，是正二十面体的四维类比，是起源于拓扑空间的发明者弗雷在1906年提到的一个概念 ，下面就跟着本站我一起来看看吧!

正六百胞体其实就是由600个正二十面体胞
，1200个正三角形面，720条棱 ，120个点组成的四维凸正多胞体
，它的施莱夫利符号是{3,3,5}，和正一百二十胞体形成了对偶 ，也就是行向量和列向量方面的对立。

对于生活在三维空间的人来说
，四维空间是我们无法想象的，这和克莱因瓶十分相似 ，但是正像我们能够通过研究二维平面上的三维投影
，想象出三维物体的样子一样，我们想要想象四维空间 ，也可以运用三维空间中四维的投影来研究 。

正六百胞体是拓扑学上的一种正多胞体，被归为拓扑空间中的一种四维立方体
，而拓扑空间则是法国数学家弗雷于1906年第一个提出的概念，所以某种意义上来说 ，正六百胞体从弗雷的手中起源
，但是正多胞体的具体发明者还不得而知
。

1. 施莱格尔投影 ：而正六百胞体就是一个四维几何立体图形，所以通过施莱格尔投影就能够研究出它的样子 ，但是和三维投影的简单相比
，四维投影要复杂的多，比如正六百胞体的投影其实都是正对着一个顶点投影出来的。

2. 球极投影 ：当然除了四维投三维 ，还有将超立方体的每一个表面都膨胀
，而得到的一个?超球?，球极投影就是指我们置身在最外部所看到的平行投影 。

3. 二维线架正投影 ：也就是在二维平面上看到的这个正六百胞体的投影 ，由于是二维
，所以只会出现一些线和点，图中的红点是指两个点重合的部分 ，黄点是指四个点重合的部分
。

将正六百胞体中的每个正四面体中心，作出中心所在正四面体的正三角形面的垂线
，就能得到正120胞体，而正120胞体通过类似的处理就能得到正六百胞体。也就是将正120胞体中每个正十二面体中心 ，作中心所在正十二面体的正五边形面垂线
，就能得到正六百胞体 。

就像负维空间中提到的，正多胞体就是一种四维立体图形 ，所以正六百胞体其实就是四维空间的产物
，所以我们运用三维空间的思维，很难理解它 ，只能在数学上运用投影的方式
，更好的了解。

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